Question

如圖，頂點坐標為（1，9）的拋物線交x軸于點A（-2，0）、B兩點，交y軸于點C，過A、B、C三點的⊙O′交y軸于另一點D，交拋物線于另一點P，過原點O且垂直于AD的直線交AD于點H，交BC于點G．
（1）求拋物線的解析式和點G的坐標；
（2）設直線x=m交拋物線于點E，交直線OG于點F，是否存在實數m，使G、P、E、F為一個平行四邊形的四個頂點？如果存在，求出m的所有值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點坐標為（1，9），設出二次函數的頂點式，代入點A坐標即可解答，進一步利用勾股定理、相交弦定理及射影定理求得點H坐標，求得直線OH解析式與直線BC聯立方程即可求出點G坐標；
（2）利用平行四邊形的判定PG平行且相等于EF，聯立方程解答即可．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²+9，
把點A（-2，0）代入解析式解得a=-1，
因此函數解析式為y=-x²+2x+8；
點C為（0，8），B為（4，0），
由相交弦定理，得OA|•|OB|=|OC|•|OD|，即2×4=8×|OD|，|OD|=1，
∵點D在y軸的負半軸上，
∴點D的坐標為（0，-1）．
在Rt△AOD中，|OA|=2，|OD|=1，OH⊥AD，
∴由勾股定理，有AD=

22+12

=

5

．
又∵|OA|•|OD|=|AD|•|OH|，
∴|OH|=

2

5

5

，
∵|OA|²=|AH|•|AD|，即2²=|AH|，
∴|AH|=4，
同理，由|OD|²=|DH|•|AD|，得|DH|=

5

5

，
設點H（x，y），且x＜0，y＜0．
在Rt△AOH中，|AH|•|OH|=|y|•|OA|，
∴|y|=

4

5

，
∴y=-

4

5

在Rt△DOE中，|DH|•|OH|=|x|•|OD|，
∴|x|=

2

5

，x=-

2

5

，
∴點H的坐標是（-

2

5

，-

4

5

）．
設直線OH的方程為y=kx （k≠0）．
∵直線OH經過點H，
∴解得k=2，
∴直線OH的方程為y=2x；
由對稱當得點P的坐標為（2，8），設直線BC的方程為y=kx+b （k≠0），
則有

4k+b=0 b=8

，解得

k=-2 b=8

，
∴直線BC的方程為y=-2x+8，聯立方程組

y=-2x+8 y=2x

，
解得

x=2 y=4

，
∴點G的坐標為（2，4）；

（2）∵點P（2，8），點G（2，4），
∴PG∥EF，
設點E的坐標為（m，-m²+2m+8），點F的坐標的（m，2m），
要使四邊形PGEF為平行四邊形，已知PQ∥EF，尚需條件|EF|=|PQ|，
由|（-m²+2m+8）-2m|=|8-4|=4，得|-m²+8|=4，
解得m=±2，或m=±2

3

而m=2，不合題意，應舍去，
∴存在實數m=-2，或m=±2

3

使得以P、G、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：此題考查待定系數法求函數解析式，勾股定理、相交弦定理、射影定理以及平行四邊形的判定，是一道難題．