Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）知F（x0，y0）為平面內一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x+1．（2）點P的坐標為（，﹣1）．（3）定點F的坐標為（2，1）．

【解析】（1）由拋物線的頂點坐標為（2，0），可設拋物線的解析式為y=a（x-2）2，由拋物線過點（4，1），利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）聯立直線AB與拋物線解析式成方程組，通過解方程組可求出點A、B的坐標，作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值，根據點B的坐標可得出點B′的坐標，根據點A、B′的坐標利用待定系數法可求出直線AB′的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點P的坐標；

（3）由點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等結合二次函數圖象上點的坐標特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出關于x0、y0的方程組，解之即可求出頂點F的坐標．

（1）∵拋物線的頂點坐標為（2，0），

設拋物線的解析式為y=a（x-2）2．

∵該拋物線經過點（4，1），

∴1=4a，解得：a=，

∴拋物線的解析式為y=（x-2）2=x2-x+1．

（2）聯立直線AB與拋物線解析式成方程組，得：

，解得：，，

∴點A的坐標為（1，），點B的坐標為（4，1）．

作點B關于直線l的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，此時PA+PB取得最小值（如圖1所示）．

∵點B（4，1），直線l為y=-1，

∴點B′的坐標為（4，-3）．

設直線AB′的解析式為y=kx+b（k≠0），

將A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直線AB′的解析式為y=-x+，

當y=-1時，有-x+=-1，

解得：x=，

∴點P的坐標為（，-1）．

（3）∵點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，

∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，

∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．

∵M（m，n）為拋物線上一動點，

∴n=m2-m+1，

∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，

整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．

∵m為任意值，

∴，

∴，

∴定點F的坐標為（2，1）．