Question

【題目】.A，B，C為數軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離的2倍，我們就稱點C是【A，B】的和諧點.例如：圖1中，點A表示的數為-1，點B表示的數為2。表示1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是1.那么點C是【A，B】的和諧點；又如，表示0的點D到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點D就不是【A，B】的和諧點，但點D是【B，A】的和諧點

（1）若數軸上M，N兩點所表示的數分別為且滿足，請求

出【M，N】的和諧點表示的數；

（2）如圖2，A，B在數軸上表樂的數分別為-40和20，現有一點P從點B出發向左運動

①若點P到達點A停止，則當P點運動多少個單位時P，A，B中恰有一個點為其余兩點的和諧點？

②若點P到達點A后繼續向左運動，是否存在使得P，A，B中恰有一個點為其余兩點的和諧點的情況？若存在，請直接寫出此時PB的距離，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）由題意得出m=－2，n=4，設【M、N】的和諧點表示的數為x，根據和諧點的定義可列方程x－（－2）=2（4－x），解出x=2；（2）①分四種情況討論，1.P是【A、B】的和諧點；2.P是【B、A】是和諧點； 3.B是【A、P】的和諧點；4.A為【B、P】的和諧點，分別列出方程解出y，計算出P點運動的單位即可；②分四種情況討論：1.當點P是【B、A】的和諧點，2.當點A是【P、B】的和諧點，3.當點A是【B、P】的和諧點，4.當點B是【P、A】的和諧點，分別計算出PB即可.

試題解析：

解：（1）由題意得：m=－2，n=4，

設【M、N】的和諧點表示的數為x，

∴x－（－2）=2（4－x），x=2.

∴【M、N】的和諧點表示的數為2；

（2）①設點P表示的數為y，分四種情況：

1.P是【A、B】的和諧點，

由題意，得y－（－40）=2（20－y），

解得y=0，

20－0=20；

2.P是【B、A】是和諧點，

由題意，得20－y=2[y－（－40）]，

解得y=－20，

20－（－20）=40；

3.B是【A、P】的和諧點，

由題意，得20－（－40）=2（20－y），

解得y=－10，

20－（－10）=30；

4.A為【B、P】 的和諧點，

由題意，得20－（－40）=2[y－（－40）]，

解得y=－10，

20－（－10）=30.

綜上可知，當P點運動20或40或30個單位時，P、A和B中恰有一個點為其余兩點的和諧點.

（3）當點P是【B、A】的和諧點，PB=120；

當點A是【P、B】的和諧點，PB=180；

當點A是【B、P】的和諧點，PB=90；

當點B是【P、A】的和諧點，PB=120.

綜上，PB距離為80或120或180時，P、A、B中恰有一個點為其余兩點的和諧點.