Question

（2013•潮南區模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于E點，BC交⊙O于D點，CD=BD，∠C=70°，現給出以下四個結論：
①∠A=45°；②AC=AB；③

AE

=

BE

；④CE•AB=2BD²
其中正確結論的個數為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：連接AD，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角得到AD垂直于BC，再由D為BC的中點，利用線段垂直平分線定理得到AC=BC，故②正確，再利用等邊對等角得到∠B=∠C，利用三角形內角和定理求出∠A的度數，即可對于①作出判斷；連接ED，利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角，得到兩對角線段，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，得到三角形CDE與三角形ABC相似，由相似得比例，即可對于④中的式子作出判斷；連接OE，OE不一定與AB垂直，故弧AE不一定等于弧BE，即可得到正確的選項．

解答：解：連AD，ED，OE，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，故選項②正確；
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-70°-70°=40°，故選項①錯誤；
∵四邊形AEDB為圓O的內接四邊形，
∴∠CED=∠B，∠CDE=∠BAC，
∴△CDE∽△CAB，
∴

CD

CA

=

CE

CB

，即CA•CE=CD•CB，
又CA=AB，CD=BD=

1

2

BC，
則CE•AB=2BD²，故選項④正確；
而EO不一定垂直于AB，故選項③錯誤，
則其中正確的有2個．
故選B

點評：此題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，以及圓內接四邊形的性質，熟練掌握定理是解本題的關鍵．