Question

【題目】如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上，如圖2，△ABC以點A為旋轉中心順時針旋轉．

（1）證明：BE=CD

（2）當AC=ED時，探究在△ABC旋轉的過程中，是否存在這樣的旋轉角α，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出角α的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，角α=或或.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得，，由，根據等式的性質可得，根據SAS可證≌，根據全等三角形的性質即可求解；

（2）先由AC=ED,設，，取ED的中點H，把各條線段表示出來,再以從一個頂點發出的線段是否對角線來不重不漏地討論,前兩種情況已經有一組對邊相等,只需這組對邊平行即可,由平行線的判定,可知只需內錯角相等即可,繼而得到相應的旋轉角度,第3種情況,因為沒有判定平行四邊形的現成條件,就先假設是平行四邊形,在此基礎上推得旋轉角度,再論證以這個旋轉角度為前提的四邊形是平行四邊形.

解：（1）和都是等腰直角三角形，，

，，，

∴，
∵在與中，，
≌
；

（2）∵AC=ED，設，

∴，

∴，，

∴，

取ED的中點H，則,,

∴,

∴,

①若是四邊形的對角線，如下圖中的四邊形，

要使得四邊形是平行四邊形,已有,只需,

只需,

②若是四邊形的對角線，如下圖中的四邊形，

同理只需,

∴;

③若是四邊形的對角線，如下圖中的四邊形，

若四邊形是平行四邊形,

又∵,,

∴四邊形是正方形,

∴,,

又因為,,

∴重合,

此時,

∴,

∴,

∴,

又∵

∴四邊形是平行四邊形;

綜上所述:角的度數是或或．