Question

【題目】給出下列定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形，下列說法：
①如圖①，四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，則中點四邊形EFGH是平行四邊形．
②如圖②，點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，則中點四邊形EFGH是菱形
③在（2）中增加條件∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，則中點四邊形EFGH是正方形
其中，正確的有（ ）

A.0個
B.1個
C.2個
D.3個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：如圖①，連接AC，BD，

∵點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF=HG= AC，EH=FG= BD，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，故（1）正確；

如圖②，連接AC，BD，

∵PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，

∴∠BPD=∠APC，

∴△BPD≌△APC，

∴AC=BD，

∵點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點，

∴EF=HG= AC=EH=FG= BD，

∴四邊形EFGH是菱形，故（2）正確；

在（2）中增加條件∠APB=∠CPD=90°，其他條件不變，

由△BPD≌△APC，可得∠CAP=∠DBP，

∵△ABP中，∠PAB+∠ABD+∠DBP=90°，

∴∠PAB+∠ABD+∠CAP=90°，

∴AC⊥BD，

由點E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點，可得EH∥BD，EF∥AC，

∴EH⊥EF，

即∠HEF=90°，

∴菱形EFGH是正方形，故（3）正確，

所以答案是：D．