Question

【題目】已知：如圖1，點O是直線AB上的一點．

（1）如圖1，當∠AOD是直角時，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度數；

（2）若∠COD保持在（1）中的大小不變，它繞著點O順時針旋轉（OD與OB重合即停止），如圖2，OE、OF分別平分∠AOC、∠BOD，則在旋轉過程中∠EOF的大小是否變化？若不變，求出∠EOF的大小；若改變，說明理由；

（3）若∠COD從（1）中的位置開始，邊OC、邊OD分別繞著點O以每秒20°、每秒10°的速度順時針旋轉（當其中一邊與OB重合時都停止旋轉），OM、ON分別平分∠BOC、∠BOD．

求：①運動多少秒后，∠COD＝10°；

②運動多少秒后，∠COM＝∠BON．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不會變化，∠EOF＝120°；（3）① 5或7；② 6

【解析】

（1）先求出角∠BOD，再根據3∠AOC＝∠BOD，即可求出∠COD；

（2）根據角平分線的意義和平角的意義可以求出∠COE+∠DOF，再代入∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD即可；

（3）①由題意列出方程可求解；

②用t的代數式表示∠BOC，∠BOD，再根據角平分線的意義，列出方程即可．

（1）∵∠AOD是直角，

∴∠AOD＝90°＝∠BOD，且3∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC＝30°，

∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°；

（2）不會變化，理由如下：

∵OE、OF分別平分∠AOC、∠BOD，

∴∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，

∵∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD，

∴∠COE+∠DOF＝（180°﹣∠COD）＝90°﹣∠COD，

∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝90°﹣∠COD+∠COD＝120°

（3）①設運動時間為t秒，

∵∠COD＝10°，

∴20t+10°＝10t+60°，或20t＝10t+60°+10°，

∴t＝5或7，

∴當運動5秒或7秒后，∠COD＝10°；

②當其中一邊與OB重合時都停止旋轉，則0＜t≤7.5，如圖：

設運動時間為t秒，

則∠BOC＝150°﹣20t，∠BOD＝90°﹣10t

所以∠COM＝∠BOC＝（150°﹣20t）

∠BON＝∠BOD＝（90°﹣10t）

∴（150°﹣20t）＝（90°﹣10t）

解得t＝6，

所以6秒時∠COM＝∠BON．