Question

【題目】如圖，拋物線經過A(－1,0)、B(3, 0)、C (0 ,3)三點。

（1）求拋物線的函數關系式；

（2）在拋物線上存在一點P，使△ABP的面積為8，請求出點P的坐標．

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使得QC+QA最短？若Q點存在，求出Q點的坐標；Q點不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ; (2) ; (3)存在，（3）Q（1，2）

【解析】試題分析:(1)因為拋物線經過與x軸的兩個交點A(－1,0),

B(3,0),所以可設二次函數解析式為,將C (0 ,3)代入可求,所以二次函數解析式為.

(2)因為AB=4, △ABP的面積為8,根據三角形面積可求得高為4,則點P的縱坐標是4,-4,

令,可得: ,解得x的值,即點P的橫坐標,

(3) 在拋物線的對稱軸上找一點Q,使得QC+QA最短,根據二次函數圖象的對稱軸性可得:點A,B關于對稱軸對稱,連接BC,BC與對稱軸的交點即為點Q,利用待定系數法求出直線BC的解析式,再求直線與對稱軸的交點.

解：（1）∵二次函數y=ax+bx+c過點A(-1，0),B(3，0),C(0，3)

，解得： ，

∴二次函數的解析式： .

（2）AB=4，

設△ABP的高為h，

∵△ABP的面積為8，

∴ AB·h=8,

解得：h=4，

當y=4時， ，

解得：x=1，

∴

當y=-4時， ，

∴

（3）Q（1，2）