Question

【題目】如圖，在△ABC中，點B，C是x軸上的兩個定點，∠ACB=90°，AC=BC，點A（l，3），點P是x軸上的一個動點，點E是AB的中點，在△PEF中，∠PEF=90°，PE=EF

（1）如圖1，當點P與坐標原點重合時：①求證△PCE≌△FBE；②求點F的坐標；

（2）如圖2，當點P在線段CB上時，求證S△CPE=S△AEF

（3）如圖3，當點P在線段CB的延長線時，若S△AEF=4S△PBE則此刻點F的坐標為________

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析②（4，﹣1）（2）證明見解析（3）（4，4）

【解析】

（1）①只要證明∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，即可解決問題．

②由△PCE≌△FBE推出BF=PC=1，只要證明BF⊥PB即可．

（2）如圖2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，根據全等三角形的性質可知PM=FN，由S△CPE=CEPM，S△AEF=AEFN，即可證明．

（3）由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，由S△CPE=S△AEF，S△AEF=4S△PBE，推出S△CPE=4S△PBE，推出PC=4PB，推出BC=3PB，PB=1，PC=4，推出BF=PC=4，由此即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

①∵A（1，3），B（4，0），

∴AC=BC=3，△ACB是等腰直角三角形，

∵AE=EB，

∴CE=AE=EB，CE⊥AB，∠ECB=∠EBC=45°，

∴∠CEB=∠OEF=90°，∠ECO=135°，

∴∠OEC=∠FEB，∵OE=EF，EC=EB，

∴△EOC≌△EFB，即△PCE≌△FBE．．

②∵△PCE≌△FBE．

∴OC=BF=1，∠EBF=∠OCE=135°，

∴∠OBF=90°，

∴BF⊥OB，

∴F（4，﹣1）

（2）證明：如圖2中，作PM⊥CE于M，FN⊥EB于N．

由（1）可知∠OEC=∠FEB，OE=EF，EC=EB，

∴△ECP≌△EBF，

∵PM⊥CE于M，FN⊥EB于N，

∴PM=FN（全等三角形對應邊上的高相等），

∵S△CPE=CEPM，S△AEF=AEFN，

∵CE=AE，PM=NF，

∴S△CPE=S△AEF

（3）如圖3中，

由（2）可知△ECP≌△EBF，推出PC=BF，BF⊥CP，

∵S△CPE=S△AEF，S△AEF=4S△PBE，

∴S△CPE=4S△PBE，

∴PC=4PB，

∴BC=3PB，PB=1，PC=4，

∴BF=PC=4，

∴點F坐標為（4，4）．

故答案為（4，4）．