Question

【題目】問題情景：如圖1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°，求∠APC的度數.

(1)天天同學看過圖形后立即口答出：∠APC=110°，請你補全他的推理依據.

如圖2,過點P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD.(___)

∴∠A+∠APE=180°.

∠C+∠CPE=180°.(___)

∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，

∴∠APE=50°,∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(___)

問題遷移：

(2)如圖3,AD∥BC，當點P在A. B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有何數量關系?請說明理由。

(3)在(2)的條件下,如果點P在A. B兩點外側運動時(點P與點A. B. O三點不重合)，請你直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內角互補；等量代換；（2）∠CPD =∠α+∠β；（3）∠CPD=∠β∠α，∠CPD=∠α∠β.

【解析】

（1）根據平行線的判定與性質填寫即可；

（2）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．

(1)過點P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD.(平行于同一條直線的兩條直線平行)

∴∠A+∠APE=180°.

∠C+∠CPE=180°.(兩直線平行同旁內角互補)

∵∠PAB=130°,∠PCD=120°，

∴∠APE=50°,∠CPE=60°

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°.(等量代換)

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行同旁內角互補；等量代換.

(2)∠CPD=∠α+∠β，

理由是：如圖3,過P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

(3)當P在BA延長線時，

過P作PE∥AD交CD于E，如圖4

同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠β∠α；

當P在AB延長線時，過P作PE∥AD交CD于E，如圖5

同(2)可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠α∠β.