Question

已知二次函數y=x²+bx-c的圖象經過兩點P（1，a），Q（2，10a）．
（1）如果a，b，c都是整數，且c＜b＜8a，求a，b，c的值．
（2）設二次函數y=x²+bx-c的圖象與x軸的交點為A、B，與y軸的交點為C．如果關于x的方程x²+bx-c=0的兩個根都是整數，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）代入兩點坐標，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，聯立不等式組求得a、b、c的值；
（2）設出程x²+bx-c=0的兩個根，根據根與系數的關系與因式分解求得兩根，得出函數解析式，進一步求得圖象與x、y軸的交點A、B、C三點解答問題．

解答：解：點P（1，a）、Q（2，10a）在二次函數y=x²+bx-c的圖象上，
故1+b-c=a，4+2b-c=10a，
解得b=9a-3，c=8a-2；
（1）由c＜b＜8a知

8a-2＜9a-3 9a-3＜8a

，
解得1＜a＜3，
又a為整數，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；

（2）設m，n是方程的兩個整數根，且m≤n．
由根與系數的關系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，
消去a，得9mn-8（m+n）=-6，
兩邊同時乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．
所以

9m-8=1 9n-8=10

或

9m-8=-10 9n-8=-1

或

9m-8=-5 9n-8=-2

或

9m-8=2 9n-8=5

，
解得

m=1 n=2

或

m=- 2 9 n= 7 9

或

m= 1 3 n= 2 3

或

m= 10 9 n= 13 9

；
又∵m，n是整數，所以后面三組解舍去，
故m=1，n=2．
因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，
二次函數的解析式為y=x²-3x+2．
易求得點A、B的坐標為（1，0）和（2，0），點C的坐標為（0，2），
所以△ABC的面積為

1

2

×(2-1)×2=1．

點評：此題主要考查二次函數圖象上點的坐標特點、根與系數的關系、不等式組、以及三角形的面積計算公式．