Question

【題目】已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．

（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE=AF；

（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE=AF，證明見解析.

【解析】（1）連接AD，根據等腰三角形的性質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據全等三角形的性質即可證出BE=AF；

（2）連接AD，根據等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據全等三角形的性質即可得出BE=AF．

詳（1）證明：連接AD，如圖①所示．

∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD=45°．

∵點D為BC的中點，

∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，

∴∠BDE=∠ADF．

在△BDE和△ADF中，

，

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴BE=AF；

（2）BE=AF，證明如下：

連接AD，如圖②所示．

∵∠ABD=∠BAD=45°，

∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，

∴∠EDB=∠FDA．

在△EDB和△FDA中，

，

∴△EDB≌△FDA（ASA），

∴BE=AF．