Question

【題目】CD經過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=∠，

（1）若直線CD經過∠BCA的內部，且E、F在射線CD上，請解決下面兩個問題：

①如圖1，若∠BCA=90°,∠=90°，則BE_____CF；EF____.（填“＞”“＜”或“=”）

②如圖2，若0°＜∠BCA＜180°,請添加一個關于∠與∠BCA關系的條件__________,使①中的兩個結論仍然成立，并證明兩個結論成立.

（2）如圖3，若直線CD經過∠BCA的外部，∠=∠BCA，請提出EF，BE，AF三條線段數量關系的合理猜想（不要求證明）.

Answer 1

【答案】（1）①=，=;②∠α+∠ACB=180°；（2）EF=BE+AF

【解析】

（1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根據AAS證△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可．

解：（1）①如圖1中，

E點在F點的左側，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|
故答案為=，=;

②∠α+∠ACB=180°時，①中兩個結論仍然成立；
證明：如圖2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，

∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，CE=AF，
∴EF=CF-CE=BE-AF，
當E在F的右側時，同理可證EF=AF-BE，
∴EF=|BE-AF|；
故答案為∠α+∠ACB=180°．

（2）結論：EF=BE+AF．
理由：如圖3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，

∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF．