Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF。設CE=a，CF=b。

（1）如圖1，當∠EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；

（2）當△AEF是直角三角形時，求a、b的值；

（3）如圖3，探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）a=b＝；（2）①當∠AEF=90°時，a=4，b=8，②當∠AFE=90°時，a=8，b=4;（3）ab=32，理由見解析.

【解析】分析：（1）當∠EAF被對角線AC平分時，易證△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分兩種情況進行計算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，兩式聯立解方程組即可；（3）先判斷出∠AFD=∠CEF，再判斷出AF=EF，從而得到△ADF≌△FCE即可．

本題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACF=∠DCD=90°，

∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被對角線AC平分，∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，∴CE=CE，

∵CE=a，CF=b，∴a=b；

（2）當△AEF是直角三角形時，

①當∠AEF=90°時，△ABEF≌△ECF，∴a=4，b=8，

②當∠AFE=90°時，△ADF≌△FCE，∴a=8，b=4．

（3）ab=32，

理由：如圖，

∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，

∴∠BAG=∠AFC，

∵∠BAC=45°，

∴∠BAG+∠CAF=45°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32．