Question

已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D為AB邊的中點，∠EDF=90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延長線）于E、F．
（1）當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時（如圖1），易證S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC；
（2）當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

分析：先作出恰當的輔助線，再利用全等三角形的性質進行解答．

解答：解：（1）顯然△AED，△DEF，△ECF，△BDF都為等腰直角三角形，且全等，
則S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC；
（2）圖2成立；圖3不成立．
圖2證明：過點D作DM⊥AC，DN⊥BC，則∠DME=∠DNF=∠MDN=90°，
又∵∠C=90°，
∴DM∥BC，DN∥AC，
∵D為AB邊的中點，
由中位線定理可知：DN=

1

2

AC，MD=

1

2

BC，
∵AC=BC，
∴MD=ND，
∵∠EDF=90°，
∴∠MDE+∠EDN=90°，∠NDF+∠EDN=90°，
∴∠MDE=∠NDF，
在△DME與△DNF中，
∵

∠DME=∠DNF MD=ND ∠MDE=∠NDF

，
∴△DME≌△DNF（ASA），
∴S_△DME=S_△DNF，
∴S_{四邊形DMCN}=S_{四邊形DECF}=S_△DEF+S_△CEF，
由以上可知S_{四邊形DMCN}=

1

2

S_△ABC，
∴S_△DEF+S_△CEF=

1

2

S_△ABC．
圖3不成立，連接DC，
證明：△DEC≌△DBF（ASA，∠DCE=∠DBF=135°）
∴S_△DEF=S_{五邊形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+

S△ABC

2

，
∴S_△DEF-S_△CFE=

S△ABC

2

．
故S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的關系是：S_△DEF-S_△CEF=

1

2

S_△ABC．

點評：利用作出的輔助線將不規則的三角形轉化為直角三角形進行解決．