Question

課題研究：現有邊長為120厘米的正方形鐵皮，準備將它設計并制成一個開口的水槽，使水槽能通過的水的流量最大．
初三（1）班數學興趣小組經討論得出結論：在水流速度一定的情況下，水槽的橫截面面積越大，則通過水槽的水的流量越大．為此，他們對水槽的橫截面進行了如下探索：
（1）方案①：把它折成橫截面為直角三角形的水槽（如圖1）．
若∠ACB=90°，設AC=x厘米，該水槽的橫截面面積為y厘米²，請你寫出y關于x的函數關系式（不必寫出x的取值范圍），并求出當x取何值時，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽（如圖2）．
若∠ABC=120°，請你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案①中的y的最大值比較大小；
（2）假如你是該興趣小組中的成員，請你再提供兩種方案，使你所設計的水槽的橫截面面積更大．畫出你設計的草圖，標上必要的數據（不要求寫出解答過程）．

Answer 1

分析：（1）①已知正方形的周長，可求出其邊長，即AC+BC的長，即可表示出BC的長，然后根據直角三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式，根據函數的性質即可求出y的最大值．
②本題已知了AB+BC+CD=正方形的邊長，可設AB為x，那么CD也為x，BC可用正方形的邊長求得．過B、C作AD的垂線，通過構建的直角三角形，用x表示出BE和AE的長，即可求出上底AD的長，然后根據梯形的面積公式即可求得y，x的函數關系式，根據函數的性質即可求得函數的最大值；
（2）由（1）的結果大致可推斷出折的邊數越多，面積越大，因此折的邊數無限多即折的圖形為半圓時面積最大，據此可列出不同的方案．

解答：解：
（1）①y=

x(120-x)

2

，
當x=60時，y_最大值=1800；
②過點B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
設AB=CD=xcm，梯形的面積為Scm²，則BC=EF=（120-2x）cm，
AE=DF=

1

2

x，BE=CF=

3

2

x，AD=120-x，
∴S=

1

2

•

3

2

x（240-3x）
當x=40，S_最大值=1200

3

，
S_最大值＞y_最大值；


（2）方案：①正八邊形一半，②正十邊形一半，③半圓等．

點評：本題主要考查了圖形面積的求法和二次函數的應用．