Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個方程的兩個實數根．第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，

∴方程有兩個不相等的實數根

（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解為x= ，即x1=k，x2=k+1，

∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

當AB=k，AC=k+1，且AB=BC時，△ABC是等腰三角形，則k=5；

當AB=k，AC=k+1，且AC=BC時，△ABC是等腰三角形，則k+1=5，解得k=4，

綜合上述，k的值為5或4

【解析】（1）先計算出△=1，然后根據判別式的意義即可得到結論；（2）先利用公式法求出方程的解為x1=k，x2=k+1，然后分類討論：AB=k，AC=k+1，當AB=BC或AC=BC時△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．