Question

已知函數y₁=x，y₂=x²+bx+c，α，β為方程y₁-y₂=0的兩個根，點M（t，T）在函數y₂的圖象上．
（Ⅰ）若α=，β=，求函數y₂的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若函數y₁與y₂的圖象的兩個交點為A，B，當△ABM的面積為時，求t的值；
（Ⅲ）若0＜α＜β＜1，當0＜t＜1時，試確定T，α，β三者之間的大小關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）問通過把α=，β=分別代入y₁-y₂=0，確定b，c的值而求得函數y₂的解析式；
（2）問關鍵在于明確|t-T|=h這一等量關系才能求得t的值；
（3）問難度較大，比較T、α、β的大小需要正確理解0＜α＜β＜1及0＜t＜1在整式變形中分類應用．
解答：解：（1）∵y₁=x，y₂=x²+bx+c，y₁-y₂=0，
∴x²+（b-1）x+c=0．
將α=，β=分別代入x²+（b-1）x+c=0，
得（）²+（b-1）×+c=0，（）²+（b-1）×+c=0，
解得b=，c=．
∴函數y₂的解析式為y₂=x²+x+．

（2）由已知得：A（，），B（，），得AB==，
設△ABM的高為h，
∴S_△ABM=AB•h=h=，即h=，
根據題意：|t-T|=h，
由T=t²+t+，
得：|-t²+t-|=，
當t²-t+=-時，解得：t₁=t₂=；
當t²-t+=時，解得：t₃=，t₄=；
∴t的值為：，，；

（3）由已知，得α=α²+bα+c，β=β²+bβ+c，T=t²+bt+c．
∴T-α=（t-α）（t+α+b）；
T-β=（t-β）（t+β+b）；
α-β=（α²+bα+c）-（β²+bβ+c），
化簡得（α-β）（α+β+b-1）=0．
∵0＜α＜β＜1，得α-β≠0，
∴α+β+b-1=0．
有α+b=1-β＞0，β+b=1-α＞0．
又∵0＜t＜1，
∴t+α+b＞0，t+β+b＞0，
∴當0＜t≤a時，T≤α＜β；
當α＜t≤β時，α＜T≤β；
當β＜t＜1時，α＜β＜T．
點評：本題綜合考查一元二次方程與一次函數及二次函數的相關知識，一元二次方程與函數相結合的綜合問題是初中與高中知識銜接的重點內容．對于這類問題，通常需要學生熟悉掌握方程與函數的概念與性質及兩者之間的聯系．