Question

【題目】在△ABC中，BD為∠ABC的平分線．
（1）如圖1，∠C=2∠DBC，∠A=60°，求證：△ABC為等邊三角形；

（2）如圖2，若∠A=2∠C，BC=8，AB=4.8，求AD的長度；

（3）如圖3，若∠ABC=2∠ACB，∠ACB的平分線OC與BD相交于點O，且OC=AB，求∠A的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BD為∠ABC的平分線，

∴∠ABC=2∠DBC

∵∠C=2∠DBC，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形

（2）

解：如圖2，截取BE=AB，連接DE，

在△ABD與△EBD中， ，

∴△ABD≌△EBD，

∴∠A=∠DEB，AD=ED，

∵∠A=2∠C，

∴∠DEB=2∠C，

∵∠DEB=∠C=∠EDB，

∴∠C+∠EDB=2∠C，

∴∠C=∠EDB，

∴ED=EC，

∵AB=4.8，

∴CE=BC﹣BE=3.2，

∴AD=DE=CE=3.2

（3）

解：如圖3，過B作BF平分∠DBC交AC于F，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC，

即∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，

∵∠ABC=2∠ACB，

∴∠ACB=∠ABD=∠CBD，

∵OC平分∠ACB，BF平分∠DBC，

∴∠1=∠3= ∠DBC，∠4=∠2= ∠ACB，

∴∠1=∠2=∠3=∠4，

在△OBC與△FCB中， ，

∴△OBC≌△FCB，

∴OC=BF，

∵AB=OC，

∴BF=AB，

∵∠ABF=∠ABD+∠3，∠AFB=∠ACB+∠1，

∵∠ABD=∠ACB，∠1=∠3，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴AB=BF=AF，

∴△ABF為等邊三角形，

∴∠A=60°

【解析】（1）由BD為∠ABC的平分線，得到∠ABC=2∠DBC，等量代換得到∠ABC=∠C，證得AB=AC，即可得到結論；（2）如圖2，截取BE=AB，連接DE，推出△ABD≌△EBD，根據全等三角形的性質得到∠A=∠DEB，AD=ED，由∠A=2∠C，得到∠DEB=2∠C，求出∠C=∠EDB，得到ED=EC即可得到結論；（3）過B作BF平分∠DBC交AC于F，根據角平分線的性質得到BD平分∠ABC，∠ABC=2∠ABD=2∠CBD，由∠ABC=2∠ACB，得到∠ACB=∠ABD=∠CBD，由角平分線的定義得到∠1=∠3= ∠DBC，∠4=∠2= ∠ACB，推出△OBC≌△FCB，根據全等三角形的性質得到OC=BF，由AB=OC，得到BF=AB等量代換得到∠ABF=∠AFB，求得AB=AF，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角的平分線的相關知識，掌握從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線，以及對角平分線的性質定理的理解，了解定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上．