Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90o，O為AB上一點，以O為圓心，OB長為半徑的圓，交BC邊于點D，與AC邊相切于點E．

（1）求證：BE平分∠ABC；

（2）若CD︰BD＝1︰2，AC＝4，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）連接OE，根據OE=OB得出∠OEB=∠OBE，根據AC為切線得出∠OEA=90°，則∠C=∠OEA，從而得出OE∥BC，則∠OEB=∠EBC，從而得出∠OBE=∠EBC，得出角平分線；（2）過O作OF⊥BC于點F，連接OD，根據OD=OB，從而得出DF=BF，根據CD：BD=1：2，從而得出CD=DF=FB，從而得出四邊形OECF為矩形，則CF=EO，從而得出△ODB為等邊三角形，然后根據AC的長度得出BC的長度，從而得出CD的長度．

試題解析：（1）連接OE ∵OE＝OB ∴∠OEB＝∠OBE ∵AC與⊙O相切 ∴OE⊥AC，即∠OEA＝90°

∴∠C＝∠OEA＝90° ∴OE∥BC ∴∠OEB＝∠EBC ∴∠OBE＝∠EBC 即BE平分∠ABC

（2）過O作OF⊥BC于點F，連接OD ∵OD＝OB ∴DF＝BF ∵CD︰BD＝1︰2 ∴CD＝DF＝FB

∵四邊形OECF為矩形 ∴CF＝EO ∴OE＝BD＝OD＝OB ∴△ODB為等邊三角形 ∴∠ABC＝60°

∵AC＝4 ∴BC＝ ∴CD＝×BC＝