Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，AC為⊙O的弦，過⊙O外的點D作DE⊥OA于點E，交AC于點F，連接DC并延長交AB的延長線于點P，且∠D=2∠A，作CH⊥AB于點H．

（1）判斷直線DC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若HB=2，cosD=，請求出AC的長．

Answer 1

【答案】（1）DC與⊙O相切；（2）．

【解析】試題分析：（1）連接OC，易證∠COB=∠D，由于∠P+∠D=90°，所以∠P+∠COB=90°，從而可知半徑OC⊥DC；

（2）由（1）可知：cos∠COP=cos∠D=，設半徑為r，所以OH=r﹣2，從而可求出r的值，利用勾股定理即可求出CH的長度，從而可求出AC的長度．

試題解析：解：（1）DC與⊙O相切．理由如下：

連接OC，∵∠COB=2∠A，∠D=2∠A，∴∠COB=∠D，∵DE⊥AP，∴∠DEP=90°，在Rt△DEP中，∠DEP=90°，∴∠P+∠D=90°，∴∠P+∠COB=90°，∴∠OCP=90°，∴半徑OC⊥DC，∴DC與⊙O相切．

（2）由（1）可知：∠OCP=90°，∠COP=∠D，∴cos∠COP=cos∠D=，∵CH⊥OP，∴∠CHO=90°，設⊙O的半徑為r，則OH=r﹣2．在Rt△CHO中，cos∠HOC===，∴r=5，∴OH=5﹣2=3，∴由勾股定理可知：CH=4，∴AH=AB﹣HB=10﹣2=8．

在Rt△AHC中，∠CHA=90°，∴由勾股定理可知：AC=．