Question

數形結合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數．
對于這個求和問題，如果采用純代數的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進行討論．
如果采用數形結合的方法，即用圖形的性質來說明數量關系的事實，那就非常的直觀．現利用圖形的性質來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的．而組成整個三角形小圓圈的個數恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數為，即1+2+3+4+…+n=．
（1）仿照上述數形結合的思想方法，設計相關圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）
（2）試設計另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）

Answer 1

解：（1）

因為組成此平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]個，即2n個，
所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個，即2n²個．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）==n²．

（2）

因為組成此正方形的小圓圈共有n行，每行有n個，所以共有（n×n）個，即n²個．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．
分析：根據例題所示選擇合適的圖形來解決問題，對于題目中所給的奇數相加的公式，我們不難發現它的遞增也是有規律的，所以我們仍可以參照例子作出相應的圖形利用平行四邊形法求解；另外我們可以發現公式的增值是2，我們可以看做是在原點的基礎上伸出兩個端點依次加2，然后這n個圖形相組合，可以得到多個答案，選擇你認為最為簡單的圖形進行解答．
點評：把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．