Question

【題目】四邊形的四邊順次為a、b、c、d，且滿足a2+b2+c2+d2=2（ab+cd），則這個四邊形一定是（ ）
A.平行四邊形
B.兩組對角分別相等的四邊形
C.對角線互相垂直的四邊形
D.對角線長相等的四邊形

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵a2+b2+c2+d2=2ab+2cd， ∴a2+b2+c2+d2﹣2ab﹣2cd=0，
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2=0，
∴a﹣b=0且c﹣d=0，
∴a=b且c=d．
如圖，點A在BD的垂直平分線上，點C在BD的垂直平分線上，
∴AC垂直平分線BD，
∴四邊形ABCD是對角線互相垂直的四邊形．
故選C．

首先把a2+b2+c2+d2=2ab+2cd變形為a2+b2+c2+d2﹣2ab﹣2cd=0，然后利用完全平方公式分解因式和非負數的性質即可求解．