Question

【題目】如圖，在中，，平分．

（1）尺規(guī)作圖：作線段的垂直平分線；（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）記直線與，的交點(diǎn)分別是點(diǎn)，，連接求證：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）利用尺規(guī)作出線段AB的垂直平分線l即可．
（2）想辦法證明∠ECF=∠EFC=15°，根據(jù)等角對(duì)等邊，EF=EC即可解決問題．

解：（1）如下圖所示，直線l為線段AB的垂直平分線，

（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，

∴AC=AB，∠A=60°．

∵EF是AB的垂直平分線，

∴AE=AB，∠AEF=90°，

∴AE=AC，

∴△AEC是等邊三角形，

∴∠AEC=∠ACE=60°，

∴∠FEC=∠AEF+∠AEC=150°．

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠ECF=∠ECA﹣∠FCA=15°，

∴∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=15°=∠ECF，

∴EF=EC．