Question

【題目】如圖所示，已知△ABC.

（1）用直尺和圓規作∠A的平分線和邊BC的垂直平分線；

（要求：不寫作法，但需要保留畫圖痕跡）

（2）設（1）中的和直線交于點P，過點P作PE⊥AB，垂足為點E，過點P作PF⊥AC交AC的延長線于點F.請你探究BE和CF之間的數量關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）BE=CF.

【解析】

（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AB、AC相交，再以這兩點為圓心，以大于它們長度的為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與交點作射線即為∠A的平分線；分別以點B、C為圓心，以大于BC長度為半徑畫弧，在BC的兩邊分別相交于一點，過這兩點作直線即為BC的垂直平分線；
（2）結論BE=CF．利用全等三角形的性質即可證明.

（1）

（2）BE=CF.

連接PB和PC

∵AP平分∠CAB，PE⊥AB，PF⊥AC

∴PE=PF.

∵l2垂直平分BC邊,

∴PC=PB.

由HL證明△PFC≌△PEB

∴BE=CF.