Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（1，0），B（3，0），C（0，6）三點．

（1）求拋物線的解析式．

（2）拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，直線AN交拋物線于點D，直線BE交AD于點E，若直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，求點E的坐標．

（3）P為拋物線上的一動點，Q為對稱軸上動點，拋物線上是否存在一點P，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）點E(2，2)或(3，4)；（3）存在，當點P坐標為(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形

【解析】

（1）設拋物線解析式為：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把點C坐標代入解析式，可求解；

（2）先求出點M，點N坐標，利用待定系數法可求AD解析式，聯立方程組可求點D坐標，可求S△ABD＝×2×6＝6，設點E(m，2m﹣2)，分兩種情況討論，利用三角形面積公式可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質可求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A(1，0)，B(3，0)，

∴設拋物線解析式為：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，

∵拋物線y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的圖象經過點C(0，6)，

∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，

∴a＝2，

∴拋物線解析式為：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；

（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，

∴頂點M的坐標為(2，﹣2)，

∵拋物線的頂點M與對稱軸l上的點N關于x軸對稱，

∴點N(2，2)，

設直線AN解析式為：y＝kx+b，

由題意可得：，

解得：，

∴直線AN解析式為：y＝2x﹣2，

聯立方程組得：，

解得：，，

∴點D（4，6），

∴S△ABD＝×2×6＝6，

設點E(m，2m﹣2)，

∵直線BE將△ABD的面積分為1：2兩部分，

∴S△ABE＝S△ABD＝2或S△ABE＝S△ABD＝4，

∴×2×(2m﹣2)＝2或×2×(2m﹣2)＝4，

∴m＝2或3，

∴點E(2，2)或(3，4)；

（3）若AD為平行四邊形的邊，

∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴AD＝PQ，

∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，

∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，

∴點P坐標為(5，16)或(﹣1，16)；

若AD為平行四邊形的對角線，

∵以A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，

∴AD與PQ互相平分，

∴，

∴xP＝3，

∴點P坐標為(3，0)，

綜上所述：當點P坐標為(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)時，使A、D、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．