Question

【題目】如圖，已知線段，于點，且，是射線上一動點，，分別是，的中點，過點，，的圓與的另一交點（點在線段上），連結，.

（1）當時，求的度數；

（2）求證：；

（3）在點的運動過程中，當時，取四邊形一邊的兩端點和線段上一點，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且為銳角頂點，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1）75°；（2）證明見解析；（3）或或．

【解析】

（1）根據三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度數；

（2）連接MD，根據MD為△PAB的中位線，可得∠MDB=∠APB，再根據∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，進而得出△ABC∽△PBA，得出答案即可；

（3）記MP與圓的另一個交點為R，根據AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根據Q為直角三角形銳角頂點，分四種情況進行討論：當∠ACQ=90°時，當∠QCD=90°時，當∠QDC=90°時，當∠AEQ=90°時，即可求得MQ的值．

解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=30°，

∴∠B=75°，

（2）如圖1，連接MD，

∵MD為△PAB的中位線，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB，

∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°-∠APB-∠B，∠ACB=180°-∠BAC-∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB，由（1）可知PA=PB，

∴△ABC∽△PBA，

∴ ，

∴AB2=BCPB；

（3）如圖2，記MP與圓的另一個交點為R，

∵MD是Rt△MBP的中線，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+（4-PR）2=22+PR2，

∴PR=，

∴MR=，

（一）當∠ACQ=90°時，AQ為圓的直徑，

∴Q與R重合，

∴MQ=MR=；

（二）如圖3，當∠QCD=90°時，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，

∴MQ=；

（三）如圖4，當∠QDC=90°時，

∵BM=1，MP=4，

∴BP=，

∴DP=BP=，

∵cos∠MPB= ，

∴PQ=，

∴MQ=；

（四）如圖5，當∠AEQ=90°時，

由對稱性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ=；

綜上所述，MQ的值為或或．