Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣bx+c過點B（3，0），C（0，﹣3），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式以及頂點坐標；
（2）點C關于拋物線y=x2﹣bx+c對稱軸的對稱點為E點，連接BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）在（2）的條件下，點M是拋物線對稱軸上且在CE上方的一點，是否存在點M使△DMB和△BCE相似？若存在，求點M坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線的解析式為y=（x+3）（x+n），將點C的坐標代入得：3n=﹣3，解得n=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=（x+3）（x﹣1）即y=x2﹣2x﹣3．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）

（2）

解：如圖1所示：過點E作ED⊥BC，垂足為D．

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴OC=OB=3．

∴∠OCB=∠OBC=45°，BC=3

∵點E與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

∴CE⊥OC，

∴∠DCE=45°．

∵ED⊥CD，

∴△DEB為等腰直角三角形．

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x=1．

∴CE=2．

∴CD=ED= ．

∴BD=BC﹣CD=2 ．

∴tan∠CBE= =

（3）

解：如圖2所示：

∵B（3，0），D（﹣1，﹣4），

∴A（﹣1，0），F（1，0）．

∴FB=2，DF=4．

∴tan∠FDB= ．

∴tan∠FDB=tan∠CBE．

∴∠FDB=∠CBE．

∴當 = 時，△BCE∽△DBM．

∴ = ，解得：MD= ．

∴點M的縱坐標=﹣4+ =﹣ ．

∴M（1，﹣ ）．

如圖3所示：

∵∠FDB=∠CBE，

∴當∠BMD=∠BCE=45°時，△DMB∽△BCE．

∴FM=FB=2．

∴M（1，2）．

綜上所述，當點M的坐標為（1，﹣ ）或（1，2）時，△DMB和△BCE相似

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=（x+3）（x+n），將點C的坐標代入可求得n的值，則可得到拋物線的解析式，然后利用配方法可求得拋物線的頂點坐標；（2）過點E作ED⊥BC，垂足為D．由題意可得到△OBC和△CDE均為等腰直角三角形，然后求得CE、BC、DE的長，最后利用銳角三角函數的定義求解即可；（3）先證明tan∠FDB=tan∠CBE，從而得到∠FDB=∠CBE，當 = 或當∠BMD=∠BCE=45°時，△DMB和△BCE相似．