Question

（2008•常州）如圖，拋物線y=x²+4x與x軸分別相交于點B、O，它的頂點為A，連接AB，把AB所在的直線沿y軸向上平移，使它經過原點O，得到直線l，設P是直線l上有一動點．
（1）求點A的坐標；
（2）以點A、B、O、P為頂點的四邊形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，請分別直接寫出這些特殊四邊形的頂點P的坐標；
（3）設以點A、B、O、P為頂點的四邊形的面積為S，點P的橫坐標為x，當≤S≤時，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線的解析式，根據頂點公式，可求出A點的坐標（-，）且a=1，b=4，c=0．
∵y=x²+4x=（x+2）²-4，∴A（-2，-4）．
（2）若ABOP為菱形時，根據菱形的性質，則P點橫坐標與A坐標相同，然后再代入直線就可求出縱坐標，則P坐標就求出；若ABOP為等腰梯形時，OA=BP，已知O，A坐標，可求出OA長度，設P橫坐標為a，P在直線上，可用a表示出坐標，從而求出BP長度，OA=BP，可求出a的值，即求出P坐標．若ABOP為直角梯形時，BP與AB垂直，可求出直線BP的關系式，直線BP與直線l的交點即P點坐標．
（3）首先可以得出l的解析式．據圖分析有兩種情況可以構成QABP為四邊形，即當P在第二象限時和在第四象限時，當P在第二象限時，四邊形由△AOB和△POB組成，△AOB面積確定，則△POB的面積可以求出來，由于△AOB+△POB代入到面積的不等式中可以得出x的取值范圍．同理當P在第四象限時，△AOB+△AOP代入到面積不等式中可以得到x的取值范圍．
得AB所在直線的函數關系式是y=-2x-8，所以直線l對應的函數關系式為y=-2x．
設點P坐標為（x，-2x），分別討論點P在第二象限以及第四象限的值．
解答：解：（1）∵y=x²+4x=（x+2）²-4，（1分）
∴A（-2，-4）．（2分）

（2）由已知條件可求得AB所在直線的函數關系式是y=-2x-8，
所以直線l對應的函數關系式為y=-2x．
當四邊形ABOP是菱形時，P點橫坐標與A點橫坐標相同，縱坐標與A點坐標互為相反數，四邊形ABP₁O為菱形時，P₁（-2，4）；
四邊形ABOP₂為等腰梯形時，設P₂橫坐標為a，將x=a代入y=-2x，得
P₂（a，-2a）．
又∵AO==2，
∴P₂B=，
∴=2，
整理得，5a²+8a-4=0，
解得，a=-2（舍去），a=，故P₂（，）；
ABOP為直角梯形時，BP₃與AB垂直，則直線BP的解析式為y=x+b，
把B（-4，0）代入解析式得，×（-4）+b=0，
解得b=2．
直線BP的解析式為y=x+2，
故得，
解得，
四邊形ABP₃O為直角梯形時，P₃（，）；
同理，當AP₄垂直于AB時，四邊形ABOP₄為直角梯形，P₄（，）．（6分）

（3）設點P坐標為（x，-2x）．
①當點P在第二象限時，x＜0，
△POB的面積S_△POB=×4×（-2x）=-4x．
∵△AOB的面積S_△AOB=×4×4=8，
∴S=S_△AOB+S_△POB=-4x+8（x＜0）．（8分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范圍是．（9分）
②當點P在第四象限時，x＞0，過點A、P分別作x軸的垂線，垂足為A′、P′．則四邊形POA′A的面積S_POA′A=S_{梯形PP′A′A}-S_△PP′O=•（x+2）-•（2x）•x=4x+4．
∵△AA′B的面積S_△AA′B=×4×2=4，
∴S=S_POA′A+S_△AA′B=4x+8（x＞0）．（10分）
∵4+6≤S≤6+8，
∴
即
∴
∴x的取值范圍是≤x≤．（11分）
點評：該題首先是考查了拋物線函數的特性，要求掌握拋物線函數的特點．其次是利用不等式通過動態點的變化來加深了解拋物線曲線和一次函數的關系．