Question

【題目】直線AB與直線CD相交于點O，OE平分.

（1）如圖①，若，求的度數；

（2）如圖②，射線OF在內部.

①若，判斷OF是否為的平分線，并說明理由；

②若OF平分，，求的度數.

Answer 1

【答案】（1）∠AOE=155°；（2）①DF平分∠AOD，證明見解析；②∠BOD=60°

【解析】

（1）由∠BOC=130°可得∠BOD=50°根據OE平分∠BOD得，根據對頂角相等可得∠AOD=∠BOC=130°即可求出∠AOE的度數；

（2）①由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE由OF⊥OE可得∠EOF=90°，故∠DOF=90°-∠DOE由圖形可計算出：∠AOF=90°-∠BOE，故∠AOF=∠DOF可證DF平分∠AOD

②依題意設∠DOF=3x，則∠AOF=5x由OF平分∠AOE，可得∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x，可得：∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x由OE平分∠BOD可得∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x由圖形可知∠BOE+∠AOE=180°，列出方程求出x即可

(1) ∵∠BOC=130°

∴∠BOD=180°-∠BOC=180°-130°=50°

∵OE平分∠BOD

∴

∴∠AOD=∠BOC=130°

∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=130°+25°=155°

(2) ①∵OE平分∠BOD

∴∠BOE=∠DOE

∵OF⊥OE

∴∠EOF=90°

∴∠DOF=90°-∠DOE

∵∠AOF=180°-∠EOF-∠BOE

=180°-90°-∠BOE

=90°-∠BOE

∴∠AOF=∠DOF

∴DF平分∠AOD

②∵

∴設∠DOF=3x，則∠AOF=5x

∵OF平分∠AOE

∴∠EOF=∠AOF=5x，∠AOE=10x

∴∠DOE=∠EOF-∠DOF=5x-3x=2x

∵OE平分∠BOD

∴∠BOE=∠DOE=2x，∠BOD=4x

∵∠BOE+∠AOE=180°

∴2x+10x=180°

∴x=15°

∴∠BOD=4×15°=60°