Question

【題目】如圖①拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m與直線y＝kx+k交于點A、B，其中A點在x軸上，它們與y軸交點分別為C和D，P為拋物線的頂點，且點P縱坐標為4，拋物線的對稱軸交直線于點Q．

（1）試用含k的代數式表示點Q、點B的坐標．

（2）連接PC，若四邊形CDQP的內部（包括邊界和頂點）只有4個橫坐標、縱坐標均為整數的點，求k的取值范圍．

（3）如圖②，四邊形CDQP為平行四邊形時，

①求k的值；

②E、F為線段DB上的點（含端點），橫坐標分別為a，a+n（n為正整數），EG∥y軸交拋物線于點G．問是否存在正整數n，使?jié)M足tan∠EGF的點E有兩個？若存在，求出n；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）Q（1，2k），B（﹣k+3，﹣k2+4k）；（2）1＜k；（3）①k＝1；②不存在，理由見解析．

【解析】

（1）由圖可知，拋物線對稱軸在y軸右側，頂點P縱坐標為4，用頂點坐標公式即列得關于m的不等式和方程，求解即得到m的值，進而得到拋物線解析式．把頂點P的橫坐標代入直線y＝kx+k即得到用k表示點Q的坐標．令拋物線解析式為0，解方程求得點A坐標．把直線與拋物線解析式聯立方程組并整理得關于x的一元二次方程，利用韋達定理得xA+xB的值，把xA代入即求得點B橫坐標進而求得B的縱坐標．

（2）由（1）得C（0，3），P（1，4），即四邊形CDQP的內部（包括邊界和頂點）有2個滿足橫坐標、縱坐標均為整數的點P、C，另外兩個滿足的點應該是M（0，2）、N（1，3），由圖象可知此時點D在線段MS上（不與S（0，1）重合），點Q在線段NR上（不與點R（1，2）重合）．因為D（0，k），Q（1，2k），即列得關于k的不等式組，求解即得到k的取值范圍．

（3）①求直線CP解析式，由四邊形CDQP為平行四邊形可得DQ∥CP，即直線y＝kx+k的k與直線CP解析式的一次項系數相等，求得k＝1．

②過點F作FH⊥⊥EG于點H，則Rt△FGH中，tan∠EGF，即GH＝2FH．由點E、F橫坐標分別為a，a+n，可用含a、n的式子表示FH、GH的長，代入GH＝2FH，得到關于a的一元二次方程（n為常數）．因為滿足tan∠EGF的點E有兩個，即關于a的方程有兩個不相等的實數根，由△＞0求得n的取值范圍小于0，故不存在滿足條件的正整數n．

解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m的頂點P縱坐標為4，

∴4

解得：m1＝3，m2＝﹣5

∵拋物線對稱軸在y軸右側

∴0

解得：m＞1

∴m＝3

∴拋物線為y＝﹣x2+2x+3，頂點P（1，4）

∵直線y＝kx+k與對稱軸交于點Q

∴Q（1，2k）

∵y＝﹣x2+2x+3＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝3

∴A（﹣1，0）

∵ 整理得：x2+（k﹣2）x+k﹣3＝0

∴xA+xB＝﹣（k﹣2）

∴xB＝﹣（k﹣2）﹣xA＝﹣（k﹣2）﹣（﹣1）＝﹣k+3

∴yB＝kxB+k＝﹣k2+4k

∴B（﹣k+3，﹣k2+4k）

（2）∵C（0，3），P（1，4），D（0，k），Q/span>（1，2k）

∴當四邊形CDQP的內部（包括邊界和頂點）只有4個橫坐標、縱坐標均為整數的點時，

4個點是C、P、M（0，2）、N（1，3）（如圖1）

∴點D在線段MS上（不與S（0，1）重合），點Q在線段NR上（不與點R（1，2）重合）

∴，解得：1＜k

（3）①∵C（0，3），P（1，4）

∴直線CP解析式為y＝x+3

∵四邊形CDQP為平行四邊形

∴DQ∥CP，即直線y＝kx+k平行直線CP

∴k＝1

②不存在滿足條件的正整數n．

如圖2，過點F作FH⊥EG于點H

∴∠FHE＝∠FHG＝90°

∵k＝1

∴直線AB：y＝x+1

∵點E在線段DB上橫坐標為a，EG∥y軸交拋物線于點G

∴E（a，a+1），G（a，﹣a2+2a+3）

∵點F在線段DB上橫坐標為a+n

∴FH＝xF﹣xE＝n，F（a+n，a+n+1）

∴GH＝yG﹣yF＝﹣a2+2a+3﹣（a+n+1）＝﹣a2+a+2﹣n

∵Rt△FGH中，tan∠EGF

∴GH＝2FH

∴﹣a2+a+2﹣n＝2n，整理得：a2﹣a+3n﹣2＝0

∵滿足tan∠EGF的點E有兩個，

∴關于a的方程a2﹣a+3n﹣2＝0有兩個不相等的實數根

∴△＝1﹣4（3n﹣2）＞0

解得：0＜n

∴不存在正整數n，使?jié)M足tan∠EGF的點E有兩個．