Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y= 與x軸交于點A（﹣2，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3），經過點A的射線AM與y軸相交于點E，與拋物線的另一個交點為F，且.

（1）求這條拋物線的表達式，并寫出它的對稱軸；

（2）求∠FAB的余切值；

（3）點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，點P是y軸上一點，且∠AFP=∠DAB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】拋物線的解析式為y=．拋物線的對稱軸為x=1；（2）；（3）（0，6）或P（0，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據代入法求出函數的解析式，然后根據對稱軸的關系式求出對稱軸；

（2）過點F作FM⊥x軸，垂足為M，設E（0，t），則OE=t，然后根據題意得到用t表示的F點的坐標，代入解析式可求得t的值，然后根據∠FAB的余切值；

（3）由C點的坐標求出D點的坐標，然后根據∠DAB的余切值求出∠DAB=∠BAF，然后分情況討論：①當點P在AF的上方和②當點P在AF的下方，求出P點的坐標.

試題解析：（1）把C（0，﹣3）代入得：c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=+bx﹣3．

將A（﹣2，0）代入得：×（﹣2）2﹣2b﹣3=0，解得b=﹣，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3．

∴拋物線的對稱軸為x=﹣=1．

（2）過點F作FM⊥x軸，垂足為M．

設E（0，t），則OE=t．

∵，

∴==．

∴F（6，4t）．

將點F（6，4t）代入y=x2﹣x﹣3得：×62﹣×6﹣3=0，解得t=．

∴cot∠FAB==．

（3）∵拋物線的對稱軸為x=1，C（0，﹣3），點D是點C關于拋物線對稱軸的對稱點，

∴D（2，﹣3）．

∴cot∠DAB=，

∴∠FAB=∠DAB．

如下圖所示：

當點P在AF的上方時，∠PFA=∠DAB=∠FAB，

∴PF∥AB，

∴yp=yF=6．

由（1）可知：F（6，4t），t=．

∴F（6，6）．

∴點P的坐標為（0，6）．

當點P在AF的下方時，如下圖所示：

設FP與x軸交點為G（m，0），則∠PFA=∠FAB，可得到FG=AG，

∴（6﹣m）2+62=（m+2）2，解得：m=，

∴G（，0）．

設PF的解析式為y=kx+b，將點F和點G的坐標代入得：，

解得：k=，b=﹣．

∴P（0，﹣）．

綜上所述，點P的坐標為（0，6）或P（0，﹣）．