Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且BE平分∠ABC，∠ABE=∠ACD，BE，CD交于點F．

（1）求證： ；

（2）請探究線段DE，CE的數量關系，并說明理由；

（3）若CD⊥AB，AD=2，BD=3，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DE=CE，理由見解析；（3）．

【解析】試題分析：(1)證明△ABE∽△ACD，從而得出結論;

(2) 先證明∠CDE=∠ACD，從而得出結論；

（3）解直角三角形示得.

試題解析：

（1）∵∠ABE=∠ACD，∠A=∠A，

∴△ABE∽△ACD，

∴；

（2）∵，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴∠AED=∠ABC，

∵∠AED=∠ACD+∠CDE，∠ABC=∠ABE+∠CBE，

∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE，

∵∠ABE=∠ACD，

∴∠CDE=∠CBE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠CDE=∠ABE=∠ACD，

∴DE=CE；

（3）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠BDC=90°，

∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°，

∵∠ABE=∠ACD，∠CDE=∠ACD，

∴∠A=∠ADE，∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°，

∴AE=DE，BE⊥AC，

∵DE=CE，

∴AE=DE=CE，

∴AB=BC，

∵AD=2，BD=3，

∴BC=AB=AD+BD=5，

在Rt△BDC中， ，

在Rt△ADC中， ，

∴，

∵∠ADC=∠FEC=90°，

∴，

∴．