Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，有不重合的兩個點Q（x1，y1）與P（x2，y2）．若Q，P為某個直角三角形的兩個銳角頂點，且該直角三角形的直角邊均與x軸或y軸平行（或重合），則我們將該直角三角形的兩條直角邊的邊長之和稱為點Q與點P之間的“折距”，記做DPQ．特別地，當PQ與某條坐標軸平行（或重合）時，線段PQ的長即點Q與點P之間的“折距”．例如，在圖1中，點P（1，-1），點Q（3，-2），此時點Q與點P之間的“折距”DPQ=3．

（1）①已知O為坐標原點，點A（3，-2），B（-1，0），則DAO=______，DBO=______．

②點C在直線y=-x+4上，請你求出DCO的最小值．

（2）點E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，點F是直線y=3x+6上以動點．請你直接寫出點E與點F之間“折距”DEF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①5；1；②DCO的最小值為4；（2）DEF的最小值為．

【解析】

（1）①根據“折距”的定義可得DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO==1即可求解；②設點C（m，4-m），則DCO=|m|+|4-m |，當0≤m≤4時，DO最小，即可求解；

（2）過點E分別作x、y軸的平行線交直線y=3x+6于F1、F2，則EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，當點E在y軸左側于平行于直線y=3x+6的直線相切時，EF1最小，即可求解．

解：（1）①DAO=|3|+|-2|=5，DBO=BO=1，

故答案為：5，1；

②設點C（m，4-m），則DCO=|m|+|4-m|，

當m＜0時，DCO=-m+4-m=4-2m＞4；

當0≤m≤4時，DCO=m+4-m=4；

當m＞4時，DCO=m+m-4=2m-4＞4，

綜上可知，當0≤m≤4時，DCO取得最小值，DCO的最小值為4；

（2）如圖2，過點E分別作x、y軸的平行線交直線y=3x+6于F1、F2，則EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，

又當點E在y軸左側于平行于直線y=3x+6的直線相切時，EF1最小，如圖3，將直線y=3x+6向右平移與圓相切于點E，平移后的直線與x軸交于點G，連接OE，過E作EF1∥x軸交直線y=3x+6于點F1，此時EF1即為DEF的最小值．

設原直線與x、y軸交于點M、N，則點M、N的坐標分別為（-2，0）、點N（0，6），

則MN=2，

又MN∥EG，∴∠NMO=∠EGO，又∠MON=∠OEG=90°，

∴△MON∽△GEO，

∴，即，

∴GO=，

又EF1∥MG，F1M∥EG，

∴四邊形EF1MG為平行四邊形，

∴EF1=MG=OM-OG=2-=．