Question

【題目】如圖，在正方形中，是邊上一點，連接，過作于，交于．

（1）如圖1，連接，當，時，求的長；

（2）如圖2，對角線，交于點．連接，若，求的長；

（3）如圖3，對角線，交于點．連接，，若，試探索與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BF=5；（2）；（3）；理由見解析．

【解析】

（1）根據正方形的性質和已知條件可證明得出△ABE≌△DAF，DF=AE=1，則可得出CF的值，再根據勾股定理即可可得答案.

（2）根據正方形ABCD對角線AC，BD相交于點O，即可得出∠CAB=∠ADB=45°，∠AOB=90°，又于P，∠APB=∠AOB=90°，即A，P，O，B四點共圓，∠OPB=∠OAB=45°，∠OPB=∠ADB ，再根據∠OBP=∠DBE，即可證明得出△OPB∽△EDB，可得，再根據DE=2AE=4，可得AD=AB=6，BD=，，，，即.

（3）連接EF，由（2）可得∠APB=∠AOB=90°，即A，P，O，B四點共圓，∠OPB=∠OAB=45°，∠DPE=∠OPB=45°，再根據A，P，O，B四點共圓有∠POA=∠PBA，則DEP=∠DAB+∠PBA=∠AOB+∠POA=∠POB，再根據∠DPE=∠OPB證明得出△DEP∽△BOP，即，再根據AF⊥BE，∠EDF=90°，得出EDF+∠EPF=180°，D，E，P，F四點共圓，∠DFE=∠DPE=45°，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF ，又AE=DF，于是AE=DE=，，，即可得出.

（1）解：∵正方形ABCD.

∴∠DAB=∠D=∠C=90°，AB=BC=DC=AD=4

∵于P.

∴∠EBA+∠FAB=90°，又∠DAF+FAB=90°．

∴∠EBA=∠DAF

又∠DAB=∠D，AB=DA.

∴△ABE≌△DAF．

∴DF=AE=1，

∴CF=DCDF=3

在Rt△BFC中，.

∴BF=5

（2）∵正方形ABCD對角線AC，BD相交于點O，

∴∠CAB=∠ADB=45°，∠AOB=90°

又于P. ∴∠APB=∠AOB=90°．

∴A，P，O，B四點共圓. ∴∠OPB=∠OAB=45°（也可由相似證得）.

∴∠OPB=∠ADB

又∠OBP=∠DBE，∴△OPB∽△EDB，可得

又DE=2AE=4，可得AD=AB=6，BD=，，，

∴.

∴

（3）

理由如下：連接EF.

∵，由（2）問可知∠APB=∠AOB=90° ，∴A，P，O，B四點共圓，

∴∠OPB=∠OAB=45°，∴∠DPE=∠OPB=45°，

又A，P，O，B四點共圓有∠POA=∠PBA

∴DEP=∠DAB+∠PBA=∠AOB+∠POA=∠POB，

又∠DPE=∠OPB，∴△DEP∽△BOP，

∴

又AF⊥BE，∠EDF=90°，∴EDF+∠EPF=180°，

∴D，E，P，F四點共圓

∴∠DFE=∠DPE=45°，∴∠DEF=∠DFE=45°，有DE=DF

又AE=DF，于是AE=DE=，

∴，

∴