Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DH⊥AC于點H．

（1）判斷DH與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）求證：H為CE的中點；

（3）若BC=10，cosC=，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）連結OD、AD，如圖，先利用圓周角定理得到∠ADB=90°，則根據等腰三角形的性質得BD=CD，再證明OD為△ABC的中位線得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根據切線的判定定理可判斷DH為⊙O的切線；

（2）連結DE，如圖，有圓內接四邊形的性質得∠DEC=∠B，再證明∠DEC=∠C，然后根據等腰三角形的性質得到CH=EH；

（3）利用余弦的定義，在Rt△ADC中可計算出AC=，在Rt△CDH中可計算出CH=，則CE=2CH=，然后計算AC﹣CE即可得到AE的長．

試題解析：（1）DH與⊙O相切．理由如下：

連結OD、AD，如圖，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH為⊙O的切線；

（2）證明：連結DE，如圖，∵四邊形ABDE為⊙O的內接四邊形，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H為CE的中點；

（3）解：在Rt△ADC中，CD=BC=5，∵cosC==，∴AC=，在Rt△CDH中，∵cosC==，∴CH=，∴CE=2CH=，∴AE=AC﹣CE==．