Question

如圖，以Rt△ABO的直角頂點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．已知OA=4，OB=3，一動點P從O出發沿OA方向，以每秒1個

單位長度的速度向A點勻速運動，到達A點后立即以原速沿AO返回；點Q從A點出發

沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動．當Q到達B時，P、Q兩點同時停止

運動,設P、Q運動的時間為t秒(t＞0)．

(1) 試求出△APQ的面積S與運動時間t之間的函數關系式；

(2) 在某一時刻將△APQ沿著PQ翻折，使得點A恰好落在AB邊的點D處，如圖①．

求出此時△APQ的面積．

(3) 在點P從O向A運動的過程中，在y軸上是否存在著點E使得四邊形PQBE為等腰梯

形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

(4) 伴隨著P、Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線DF交PQ于點D，交折線QB－BO－OP于點F． 當DF經過原點O時，請直接寫出t的值．

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3

           ∴AB＝

          ①P由O向A運動時，OP＝AQ＝t，AP＝4－t

            過Q作QH⊥AP于H點，由QH//BO得

           

           ∴

            即     (0<t≤4)

②當4<t≤5時，AP＝t－4  AQ=t

sin∠BAO=

    OH=

 ∴

         =··············(4分)

(2)由題意知，此時△APQ≌△DPQ

     ∠AQP＝900   ∴cosA=

     當0<t≤4   ∴    即

     當4<t≤5時，   t=－16(舍去)

   ∴···············(6分)

(3)存在，有以下兩種情況

①若PE//BQ，則等腰梯形PQBE中PQ=BE

過E、P分分別作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N

則有BM=QN,由PE//BQ得

∴

又∵AP=4－t,  ∴AN=

∴由BM=QN,得

∴　　　∴···································(8分)

②若PQ//BE，則等腰梯形PQBE中

BQ=EP且PQ⊥OA于P點

由題意知

∵OP+AP=OA  ∴

∴t··············(10分)

由①②得E點坐標為

(4)①當P由O向A運動時，OQ=OP=AQ=t

可得∠QOA=∠QAO   ∴∠QOB=∠QBO

∴OQ=BQ=t        ∴BQ=AQ=AE

∴······················(11分)

②當P由A向O運動時，OQ=OP=8－t

BQ=5－t, 

在Rt△OGQ中，OQ2 = RG2 + OG2

即(8－t)2 =

∴t = 5·························(12分)