Question

（2012•北塘區一模）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．如圖，直線l：y=

1

3

x+b經過點M（0，

1

4

），一組拋物線的頂點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…B_n（n，y_n） （n為正整數），依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數）．若x₁=d（0＜d＜1），當d為（　　）時，這組拋物線中存在美麗拋物線．

• A．

  5

  12

  或

  7

  12

• B．

  5

  12

  或

  11

  12

• C．

  7

  12

  或

  11

  12

• D．

  7

  12

Answer 1

分析：由拋物線的對稱性可知，所構成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰三角形，所以此等腰三角形斜邊上的高等于斜邊的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜邊的長小于2，所以等腰直角三角形斜邊的高一定小于1，即拋物線的定點縱坐標必定小于1．

解答：解：直線l：y=

1

3

x+b經過點M（0，

1

4

），則b=

1

4

；
∴直線l：y=

1

3

x+

1

4

．
由拋物線的對稱性知：拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的直角三角形必為等腰直角三角形；
∴該等腰三角形的高等于斜邊的一半．
∵0＜d＜1，
∴該等腰直角三角形的斜邊長小于2，斜邊上的高小于1（即拋物線的頂點縱坐標小于1）；
∵當x=1時，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

＜1，
當x=2時，y₂=

1

3

×2+

1

4

=

11

12

＜1，
當x=3時，y₃=

1

3

×3+

1

4

=

5

4

＞1，
∴美麗拋物線的頂點只有B₁、B₂．
①若B₁為頂點，由B₁（1，

7

12

），則d=1-

7

12

=

5

12

；
②若B₂為頂點，由B₂（2，

11

12

），則d=1-[（2-

11

12

）-1]=

11

12

，
綜上所述，d的值為

5

12

或

11

12

時，存在美麗拋物線．
故選B．

點評：考查了二次函數綜合題，該題是新定義題型，重點在于讀懂新定義或新名詞的含義．利用拋物線的對稱性找出相應的等腰直角三角形是解答該題的關鍵．