Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，經過B、D兩點的⊙O交AB 于點E，交BC于點F，EB為⊙O的直徑．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）當BC=2，cos∠ABC= 時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結OD．

∴OD=OB．

∴∠1=∠2．

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∴OD∥BC．

∴∠ADO=∠C=90°．

∴OD⊥AC．

∵OD是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：在Rt△ACB中，∠C=90，BC=2，cos∠ABC= ，

∴ ．

設⊙O的半徑為r，則AO=6﹣r．

∵OD∥BC，

∴△AOD∽△ABC．

∴ ．

∴ ．

解得 ．

∴⊙O的半徑為

【解析】（1）根據切線的判定定理，垂直經過半徑外端的直線是圓的切線，連接OD，只要得出OD⊥AC即可得出；（2）通過解直角三角形求得AB，然后證明△AOD∽△ABC，利用相似的性質得對應邊的比值相等，即可求得⊙O的半徑．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．