Question

如圖，在矩形ABCD中，M為CD的中點，連接AM、BM，分別取AM、BM的中點P、Q，以P、Q為頂點作第二個矩形PSRQ，使S、R在AB上．在矩形PSRQ中，重復以上的步驟繼續畫圖…．若AM⊥MB，矩形ABCD的周長為30．則：
（1）DC=

 

；（2）第n個矩形的邊長分別是

 

．

Answer 1

分析：（1）AM⊥MB，且M為CD的中點，AM=MB，可得∠DAM=∠DMA，可得AD=DM=

1

2

CD，再根據矩形ABCD的周長為30，可求的CD的長．
（2）由第一問求得：第一個矩形的長為：10，寬為5，根據三角形中位線定理，PQ=5，則寬為

5

2

，由此以此類推可得第n個矩形的邊長．

解答：解：（1）∵AM⊥MB，且M為CD的中點，AM=MB，
∴∠DAM=∠DMA，∴AD=DM=

1

2

CD，
又已知矩形ABCD的周長為30，所以CD=10，
故答案為10，

（2）由第一問求得：第一個矩形的長為：10，寬為5，
又點P、Q是AM、BM的中點，所以之后得到的矩形長寬比例為2：1，
在△ABM中，PQ=5，則寬為

5

2

，
則可得出：第n個矩形的邊長分別是10×(

1

2

)n-1，5×(

1

2

)n-1，
故答案為10×(

1

2

)n-1，5×(

1

2

)n-1，

點評：本題考查了矩形的性質和三角形的中位線定理，難度較大，關鍵掌握三角形中位線定理．