Question

【題目】如圖，點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上移動，過點O、A、C作矩形OABC，OA=a,OC=b，移在動過程中，雙曲線y= (x>0)的圖象始終經過BC的中點E，交AB于點D.

(1)證明：點D是AB的中點；

(2) 連結OE記∠AOE= α.

①當α=45°時，求 a、b之間的數量關系；

②當α=30°，k= 時，將四邊形OABE沿OE翻折，得四邊形OMNE,記雙曲線與四邊

形OMNE除點E外的另一個交點為F，求直線DF的解析式

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）① a=2b ②

【解析】分析：（1）根據中點坐標公式得到E點坐標，再根據待定系數法得到雙曲線解析式，把D點的橫坐標代入可求D點的縱坐標，依此即可證明；
（2）①根據等腰直角三角形的性質即可得到a、b之間的數量關系；

②首先過點E作EH⊥OA于點H，過點F作FG⊥OA于點G，由∠EOA=30°，k=，即可求得點E的坐標，又由點E是BC的中點，可求得點D的橫坐標，繼而求得點D的坐標，然后由折疊的性質，可得∠FOA=60°，即可求得點F的坐標，然后由待定系數法求得直線DF的解析式．

詳解： ，

，

，得：，

，

，.

.

=，

，

，

，.

(3)如圖，過點E作EH⊥OA于點H，過點F作FG⊥OA于點G，

∵∠AOE=30°,k=，

∴=，

∴OH=EH，

∵S△EOH=OHEH=k=，

∴EH=1,OH=，

∵E是BC的中點，

∴OA=2OH=2，

∴點D的橫坐標為2，

則y=，

∴點D(2,)，

由折疊的性質可得：∠FOA=2∠AOE=60°，

∴FG:OG=，

∵S△FOG=OGFG=k═，

∴OG=1,FG=，

∴點F(1,)，

設直線EF的解析式為：y=ax+b，

則，

解得：，

∴直線EF的解析式為：y=x++.