Question

【題目】已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，OD交AC的延長線于E，OA=1，AE=3．則下列結論正確的有 ． ①∠B=∠CAD；②點C是AE的中點；③ = ；④tan B= ．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵AB為直徑， ∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠B=∠CAD，故①正確；
∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴ = ，
∵OA=1，AE=3，
∴OE= ，ED= ﹣1，
∴ = ，
∴CE= ≠ AE，
即點C不是AE的中點，故②不正確；
由△ECD∽△EDA，得 = ，
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴△ACD∽△BAD，
∴ = ，
∴ = ，故③正確；
tanB= = = = ，故④正確．
所以答案是：①③④．
【考點精析】利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．