Question

【題目】已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．

（1）（特殊情況，探索結論）

如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論：

AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．

（2）（特例啟發，解答題目）

如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結論，AE　 　DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你將解答過程完整寫下來）．

（3）（拓展結論，設計新題）

在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長.（請你畫出相應圖形，并直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=；理由見解析；（3）3.

【解析】

（1）由E為等邊三角形AB邊的中點，利用三線合一得到CE垂直于AB，且CE為角平分線，由ED=EC，利用等邊對等角及等腰三角形的性質得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）AE=DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，由三角形ABC為等邊三角形，得到三角形AEF為等邊三角形，進而得到AE=EF=AF，BE=FC，再由ED=EC，以及等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等，利用全等三角形對應邊相等得到DB=EF，等量代換即可得證；
（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的長即可．

（1）當E為AB的中點時，AE=DB；

（2）AE=DB，理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F，

證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE=EF，BE=CF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECD，
∵∠DEB=60°-∠D，∠ECF=60°-∠ECD，
∴∠DEB=∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
則AE=DB；
（3）點E在AB延長線上時，如圖所示，同理可得△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=2，BC=1，
則CD=BC+DB=3．
故答案為：（1）=；（2）=（3）3