Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA＝∠PBD．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）如果，PD＝，求PA的長．

Answer 1

【答案】（1）切線，理由詳見解析；（2）PA=1

【解析】

（1）連接OD，由AB是圓O的直徑可得∠ADB=90°，進而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直線PD為⊙O的切線；

（2）根據BE是⊙O的切線，則∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD為⊙O的切線，得∠PDO=90°，根據三角函數的定義求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA.

（1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB是圓O的直徑，∴∠ADB=90°

∴∠ADO+∠BDO=90°，

又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD

∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD

∵點D在⊙O上，∴直線PD為⊙O的切線．

（2）∵BE是⊙O的切線，∴∠EBA=90°

∵∠BED=60°，∴∠P=30°

∵PD為⊙O的切線，∴∠PDO=90°

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD＝

∴tan30°＝，解得OD=1

∴PO＝＝2

∴PA=PO-AO=2-1=1