Question

【題目】如圖，在半徑為5的⊙中，弦，是弦所對的優弧上的動點，連接，過點作的垂線交射線于點，當是以為腰的等腰三角形時，線段的長為_____．

Answer 1

【答案】8或

【解析】

根據題意，以為腰的等腰三角形有兩種情況，當AB=AP時，利用垂徑定理及相似三角形的性質列出比例關系求解即可，當AB=BP時，通過角度運算，得出BC=AB=8即可．

解：①當AB=AP時，如圖，連接OA、OB，延長AO交BP于點G，故AG⊥BP， 過點O作OH⊥AB于點H，

∵在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，

∴，

由垂徑定理可知，

∴，

在Rt△OAH中，

在Rt△CAP中， ，且

∴，

在Rt△PAG與Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，

∴Rt△PAG∽Rt△PCA

∴ ，則，

∴；

②當AB=BP時，如下圖所示，∠BAP=∠BPA，

∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，

∴BC=AB=8

故答案為8或