Question

【題目】徐老師給愛好學習的小敏和小捷提出這樣一個問題：如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AB+BD=AC

小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）

小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．可以證得：AE=DE（如圖3）請你任意選擇一種思路繼續完成下一步的證明．

Answer 1

【答案】答案見解析

【解析】試題分析：小敏的方法是利用角平分線添加輔助線，構造全等三角形，△ABD和△AED證明AB+BD=AC.小捷的方法構造等腰三角形AEC,EAD，證明AB+BD=AC.

試題解析：

小敏的證明思路是：如圖2，在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠EAD，

在△ABD和△AED中，

AB=AE，

∠BAD=∠EAD，

AD=AD，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD=DE，∠ABD=∠AED，

∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，即AB+BD=AC；

小捷的證明思路是：如圖3，延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．

∴∠E=∠BAE,

∵∠ABC=∠E+∠BAE，

∴∠ABC=2∠E,

∵∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，

∴△AEC是等腰三角形,

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠DAC,

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE，

∴∠ADE=∠DAE，

∴EA=ED=AC，

∴AB+BD=AC.