Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O角邊BC于點E，過點E作DE⊥AC交AC于D．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）如圖2，若線段AB、DE的延長線交于點F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半徑和EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）半徑為2，EF=．

【解析】分析：(1)連接OE，AE，利用圓周角定理的“三線合一”證明；(2)過點O作OM⊥AC，設OM＝x，用含x的式子表示出AM，DM，AC的長，由AC－AM－MD＝2﹣，列方程求x，得到圓的關系，再在Rt△OEF中求EF.

詳解：(1)如圖1，連接OE，AE，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠EBA＝90°，

∴AE⊥BC，AB＝AC，∴BE＝CE，

∵AO＝OB，∴OE∥AC，

∵DE⊥AC，∴DE⊥OE，

∴DE是⊙O的切線；

(2)如圖2，過點O作OM⊥AC，

∵∠C＝75°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝75°，∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，

設OM＝x，則OA＝OB＝OE＝2x，AM＝x，OD⊥DE，DE⊥AC，

∴四邊形OEDM是矩形，∴DM＝OE＝2x，

OE＝AC，可得：4x＝x＋2x＋2﹣，x＝1，

∴OE＝OB＝2，即半徑為2，

在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，

∴＝tan30°＝，

EF＝．