Question

【題目】（本題滿分12分）已知二次函數的圖象如圖.

（1）求它的對稱軸與軸交點D的坐標；

（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移，設平移后的拋物線與軸，軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；

（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（本題滿分12分）

解: （1）由得…………1分

∴Ｄ（３，０）…………2分

（2）方法一:

如圖1, 設平移后的拋物線的解析式為

…………3分

則COC=

令即

得 …………4分

∴A，B

∴………5分

……………………6分

∵

即:

得 (舍去) ……………7分

∴拋物線的解析式為……………8分

方法二:

∵∴頂點坐標

設拋物線向上平移h個單位,則得到,頂點坐標…………3分

∴平移后的拋物線:……………………4分

當時,, 得

∴AB……………………5分

∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB

∴OA·OB……………………6分

得,…………7分

∴平移后的拋物線:…………8分

（3）方法一:

如圖2,由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

過C、M作直線，連結CD，過M作MH垂直y軸于H,

則

∴

在Rt△COD中,CD==AD

∴點C在⊙D上 …………………10分

∵

……11分

∴

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直線CM與⊙D相切 …………12分

方法二:

如圖3,由拋物線的解析式可得

A(-2 ，0)，B(8，0)，C(４，0) ，M…………9分

作直線CM,過D作DE⊥CM于E, 過M作MH垂直y軸于H,則,, 由勾股定理得

∵DM∥OC

∴∠MCH=∠EMD

∴Rt△CMH∽Rt△DME …………10分

∴得…………11分

由(2)知∴⊙D的半徑為5

∴直線CM與⊙D相切 …………12分

【解析】

（1）根據對稱軸公式求出x=﹣，求出即可；

（2）假設出平移后的解析式即可得出圖象與x軸的交點坐標，再利用勾股定理求出即可；

（3）由拋物線的解析式可得，A，B，C，M各點的坐標，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可證明．