Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸負半軸于點A，交x軸正半軸于點B（4，0），交y軸正半軸于點C，OC＝4OA，S△ABC＝24．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P為第一象限拋物線上一點，過點P作PD⊥AB于點D，連接AP交y軸于點E，過點E作EG⊥PD于點G，設點P的橫坐標為t（t≤1），PG的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，過點B作BF⊥EG交EG的延長線于點F，點Q在線段GF上，連接DQ、PQ，將△DGQ沿DQ折疊后，點G的對稱點為點H，DH交BF于點M，連接MQ并延長交DP的延長線于點N，當∠DQM＝45°，tan∠PQN＝時，求直線PQ的解析式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8；（2）d＝﹣t2+4t；（3）y＝﹣x+．

【解析】

(1)根據所告訴的兩個等量關系求出A、C坐標，再將坐標代入解析式即可求出b、c的值．

(2)用t表示相關的豎直線段與水平線段，再根據△PEGPAD列出比例等式化簡整理即可得到d與t關系式．

(3)先證明△QFM≌△MHQ．然后作MK⊥QM交DQ于K，過點K作SR⊥FB于R交GD于S，易得△QFM≌△MRK，可以推出R是BF中點，進而得SK=BF=GQ，tan∠N=tan∠QMF=，作PT⊥QN于T，結合tan∠PQN=可以導出，得到PG=4﹣t，而由(2)中結論可知PG=﹣t2+4t，于是建立方程解出t的值，P、Q坐標也就是自然得出，最后待定系數法確定PQ解析式．

(1)設OA=m，則OC=4OA=4m，

∵B(4，0)，所以OB=4，

∴AB=OA+OB=4+m，

∴S△ABC=ABOC=2m(4+m)=24，

解得：m=2，

∴A(﹣2，0)，C(0，8)，

將A、C兩點坐標代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得b=2，c=8，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+8；

(2) ∵EG⊥PD，PD⊥AB，∠EOD=90°，

∴四邊形ODGE為矩形，

∴EG=OD，

∵P為拋物線上一點，且橫坐標為t，

∴P(t，﹣t2+2t+8)，

∴PD=﹣t22t+8，OD=t，

∵A(﹣2，0)，

∴AD=t+2，

∵EG⊥PD，

∴△PEGPAD，且EG=OD=t，

∴，

所以，

所以d=﹣t2+4t；

(3)∵PG=d=﹣t2+4t，PD=﹣t2+2t+8，

∴GD=PD﹣PG=8﹣2t，

∴OE=BF=GD=8﹣2t，

設∠QMF=α，則∠MQF=90°﹣α，

∵∠DQM=45°，

∴∠GQD=180°﹣∠DQM﹣∠MQF=45°+α，

∴∠DQH=∠GQD=45°+α，

∴∠HQM=∠DQH﹣∠DQM=α，

根據折疊的性質∠H=∠QGD=90=∠F，

∴Rt△QFM≌Rt△MHQ，

∴QH=MF，MH=QF，

如圖，作MK⊥QM交DQ于K，過點K作SR⊥FB于R交GD于S，

則∠KRM=∠KMQ=∠QFM=90°，

∵∠DQM=45°，

∴∠MKQ=45°=∠MQK，

∴QM=KM，

∵∠QMF+∠KMR=∠KMR+∠MKR=90°，

∴∠QMF=∠MKR，

∴Rt△QFM≌Rt△MRK，

∴KR=MF，MR=QF，

設QF=m，則MR=QF=m，

∴GQ=QH=FM=EF﹣EG﹣QF=4﹣t﹣m，

∴FR=FM+MR=4﹣t﹣m+m=4﹣t=BF，

∵BF=GD=8﹣2t，

∴FR=BF，

∴R為BF中點，

∴SK=GQ，

∵SK=SR﹣KR=GF﹣GQ=QF，

∴QF=FM，

∴tan∠QMF=tanα=，

作PT⊥NQ于T，則tan∠N==tanα=，

∴NT=2PT，

∵tan∠PQN=，

∴QT=8PT，

設PT=n，則NT=2n，QT=8n，QN=10n，PN==n，

∵=tan∠N=，

∴NG=2QG，

∵，即，

∴，NG=2QG=4n，

∴PG=NG﹣PN=3n，

∴=，

∵GQ=2SK=2QF=2m，

∴，

∴PG=GF=4﹣t，

又∵PG=﹣t2+4t，

∴﹣t2+4t=4﹣t，

∴t2﹣5t+4=0，解得t=1或t=5(舍)，

∴P(1，9)，Q(3，6)，

設直線PQ的解析式為，

則，

解得：，

∴PQ的解析式為y=﹣x+．