Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+4與x軸，y軸分別交于點B，C，點A在x軸負半軸上，且OA＝OB，拋物線y＝ax2+bx+4經過A，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是第一象限內拋物線上的動點，設點P的橫坐標為m，過點P作PD⊥BC，垂足為D，用含m的代數式表示線段PD的長，并求出線段PD的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）PD=﹣（m﹣2）2+，，PD有最大值，最大值為．

【解析】

（1）先求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求解即可；

（2）先求出C、P的坐標，由此得到線段CP的長度，根據平行線的性質得，解直角三角形即可求出PD的表達式，利用二次函數的性質求出PD的最大值即可．

（1）在y＝﹣x+4中，當x＝0時，y＝4；當y＝0時，x＝4，

∴B（4，0），C（0，4），

∴OB＝OC=4，

∴OA＝OB＝2，

即A（﹣2，0），

把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4中，得

，解得，

拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+4；

（2）過P作PF∥y軸，交BC于F，

在Rt△OBC中，∵OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，

∴∠PFD=45°，

∴PD=PF，

由P(m，﹣m2+m+4)，F(m，－m+4)，得：PF=﹣m2+2m，

∴PD=（﹣m2+2m）

=﹣（m﹣2）2+，其中，0＜m＜4，

∵﹣＜0，

∴當m＝2時，PD有最大值，最大值為．